Matematiğin muhteşem denklemi: Euler Denklemi

Euler Denklemi, matematik camiasının en güzel formülü olarak bilinmektedir. Çılgınca gelebilir ama çoğu kişi denklemin baskılı tişörtlerini giyerler ve vücutlarına dövmesini işletirler. Ama neden?

Bir hikayeye aşık olmak için karakterlerini yakından bilmeniz gerekir. Öyleyse, Euler’in denkleminden bahsetmeden önce, bu sayının oluşumunda rol alan aktörlerden bahsedelim. Bunlardan en önemlisi ile başlayalım, WAU SAYISI, ViHart’ın hazırladığı harika videosu ile  aşağıda gösterilmiştir. Hayran kalacaksınız…

Sayı şaşırtıcıdır, çünkü genellikle denklemlerin öyle açık bir şekilde çözüldüğünü bile unutuyoruz! Mesela,  (x²)!=x ve x^x=x denklemlerinin tek çözümüdür.

Bir dakika… Ne demek istediniz, WAU= 1?

Kesinlikle öyle! Tarihsel olarak baktığımızda, WAU sayısı icat edilen ilk sayı, bu da onu tüm matematiğin babası yapıyor! Bu nedenle, 1’den çok daha harika bir ismi hakkettiğini düşünmüyor musunuz?

Sıradaki aktörümüz… Çok aşina olduğumuz Pİ SAYISI. π aslında güzel bir kaçamak sayısıdır! İlk olarak Antik çağda, çağımızdan en az birkaç bin yıl önce, yarıçapı 1 olan bir diskin alanı olarak veya bir dairenin çevresinin çapına oranı olarak ortaya çıktı. Ancak yapılan çalışmalar bu gizemli sayının, iki sayının oranı olarak yazılamayacağını göstermiştir!

Bir sonraki aktörümüz… WAU ve Pİ kadar tarihsel bir geçmişe sahip değil! Bu sayı Hindistan’da sadece 7. yüzyılda icat edildi. Genellikle Brahmagupta’ya atfedilir. Bu sayımız SIFIR!

Bu sayıları hepimiz biliyorduk… Peki ya i ve e?

İ sayısını okul sıralarında hayali (imaginary) bir sayı olarak öğrendik. Bilimle gelinen noktaya baktığımızda, bu sayının hayali olmadığı, Pİ sayısı kadar gerçek bir sayı olduğu savunulur. Ve buna ben de katılıyorum. Aslında, Norman Wildberger gibi bazı modern matematikçiler i’nin Pİ’den çok daha “gerçek” olduğunu savunuyorlar!

Son olarak, Euler sabiti olan e!

Sizce Euler e sayısını ortaya çıkardığı denklemi yazmak için mi icat etti?

17.yüzyılda doğal logaritma tabanı olarak alınan e sayısı da tıpkı Pİ gibi virgülden sonraki haneleri tekrarlamadan sürüp gittiği için aşkın bir sayıdır. Bernoulli, e sayısını bir bileşik faiz probleminden buldu. Problemden bahsedecek olursak;

Örneğin 1 TL paramız olduğunu düşünelim. Bir bankaya yıllık %5 bileşik faizle yatıracak olursak, bir yılda paramız 1,05 TL olur. İkinci yılda 1,05*1,05 olur. Her yıl yeni fiyattan faiz işler ve para gittikçe büyür. Bu hesaplamayı sonsuza götürdüğümüzde ne olur?

Sıra Euler Denkleminde…

Yukarıda Euler Denkleminde yer alan aktörlerden bahsettik. Şimdi gelelim bu muhteşem denklem ile tanışmaya…

Bu denklemdeki üç sabit sayı matematikte son derece önemlidir! Ayrıca, eşitlik aynı zamanda 0 ve 1’i içerdiğinden, matematikteki en önemli sayıların beşini en önemli matematiksel işlemlerden ve ilişkilerden dördünü (toplama, çarpma, üs alma ve eşitlik) birleştiren bir formüle olmaktadır. İşte matematikçiler bu yüzden Euler formülünü çok severler.

Peki bu formül nereden geliyor? Anlamı ne?

Tıpkı gerçel bir sayının sayı çizgisindeki bir nokta ile temsil edilmesi gibi, z karmaşık sayısı da düzlemdeki bir nokta ile temsil edilir. z = x+iy karmaşık sayısını (x,y) koordinatlarıyla ifade edilen nokta ile ilişkilendiririz.

Kompleks düzlemde nokta ile tasvirde kartezyen koordinatları kullanılır, bu bir noktanın konumunu, yatay yönde ve dikey yönde ne kadar ilerleyeceğinizi söyleyerek tanımlar.

Bununla birlikte, bir noktanın konumunu iki eksenin kesişme noktasından başlayan vektör ile tarif etmek de uygun olur. Bu vektörü tanımlamak için uzunluğu r ve pozitif x-ekseni ile (saat yönünün tersine) yaptığı θ açısına ihtiyacınız vardır. Bunlar bizim noktamızın kutupsal koordinatlarıdır. Temel trigonometri bize şunu söyler; eğer bir nokta (x,y) kartezyen koordinatlarına ve (r,θ) kutupsal koordinatlarına sahipse, x=rcos(θ) ve y=rsin(θ) olarak ifade edilir.

Bu nedenle, noktamızın temsil ettiği z karmaşık sayısı olan x+iy, şu şekilde de yazılabilir:

z=r(cos(θ)+isin(θ))

İşte can alıcı nokta geliyor. Tesadüfe bakın ki, r ve θ gerçek sayıları için

r(cos(θ)+isin(θ))=re^iθ

Bunu kuvvet serilerini kullanarak kanıtlamak mümküdür. Üstel fonksiyon ile sinüs ve kosinüs olmak üzere iki trigonometrik fonksiyonun bu şekilde bağlanması da güzel bir olgudur. Yani, herhangi bir z karmaşık sayısını re^iθ olarak yazabileceğiniz anlamına gelir.

Ve mutlu son, artık Euler Denklemi açıklığa kavuşturuyor… e^iπ =1×e^iπ karmaşık sayısı, düzlemde π açısı ile ilişkili ve eksenlerin kesişim noktasından 11 mesafesindeki noktayı temsil eder. İşte bu nokta, −1 karmaşık sayısını temsil ede (−1,0) kartezyen koordinatlarına sahip noktadır.