Königsberg Köprüsü ile Topolojinin Başlangıcı !!!

Königsberg’in yedi köprüsü, ilginç coğrafi kesimi sayesinde Königsberg şehrine entegre edilmiştir. Bu yedi köprü konumları itibari ile halkı eğlence yada meraktan ötürü bir soruya yöneltmiştir. Bu soru "Kentin belirli bir noktasından hareket edip her köprüyü bir ve yalnız bir kez geçerek başlangıç noktasına dönülebilir mi?" daha sonrasında dönemin ünlü matematikçisi Leonhard Euler'a kadar bu soru geldi. Yazının devamında bakalım Leonhard Euler bu soruyu çözebildimi iyi okurlar...

0
460
- Advertisement -

Bazı büyük bilimsel teoriler çok basit sorulara aranan yanıtlardan doğmuştur. Bunlardan birisi topoloji bilim dalıdır. Topoloji’nin, değişik bakış açılarından yapılabilecek farklı tanımları vardır. Konumuzla ilgili olan basit bir tanımını şöyle yapabiliriz:

Topoloji, içinde uzaklık ve ölçü kavramı olmayan geometridir. Bu geometride konumlar ve bağlantılar önem taşır.

Bu yeni geometrinin doğuşuna neden olanlar eski Prusya’daki Königsberg (şimdi Rusya’da Kaliningrad adını almıştır)  kentinin meraklı halkıdır. Königsberg’in içinden geçen Pregel ırmağı kent içinde bir ada ile bir yarımada oluşturur, adanın bir yanında iki kol halinde, öteki yanında tek kol halinde devam eder. Irmak üzerinde, şekilde görülen yedi köprü vardır.

Königsbergliler, merak ya da eğlence olsun diye bir oyun oynamaya başladılar. Kentin belirli bir noktasından hareket edip her köprüyü bir ve yalnız bir kez geçerek başlangıç noktasına dönülebilir mi?  Kent halkının meraklı insanları, farklı noktalardan hareket ederek yedi köprüyü birer kez geçip başladıkları noktaya dönmeyi denediler. Hiç birisi bu geziyi başaramadı. Kentin ortak merakı haline gelen bu problem o zamanın ünlü matematikçisi Leonhard Euler (1707–1783) ‘in ilgisini çekti. Euler, 1735 yılında, kent akademisine söz konusu gezinin imkânsızlığını kanıtlayan matematiksel ispatını sundu. 1741 yılında bu ispat “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Konum geometrisiyle ilgili bir problemin çözümü)”  adıyla akademinin dergisinde yayınlandı. Makalenin adından anlaşılacağı üzere, Euler, içinde uzaklık ve ölçü kavramı olmayan ama konumlarla (position) ilgilenen yeni bir geometriden sözettiğinin farkındaydı. Bazılarına göre, bu olgu, topolojinin başlangıcıdır.

Euler, köprüleri yürümek yerine, problemi kâğıt ve kalemle çözmeye başladı. Önce şu basit tesbiti yaptı. Problemin özü, sözkonusu geziye başlayacak birinin hangi özel noktada durduğu ile değil, ırmağın hangi kıyısında olduğu veya hangi adada olduğu ile ilgilidir. Ohalde, ırmağın iki yakasını ve adaları birer nokta ile köprüleri ise birer çizgi ile göstermek mümkündür. Kuzey yakayı A, Güney yakayı B, adayı C ve yarımadayı da D  noktası ile göstermiş olalım. Böyle düşününce, Königsberg’in köprüleri şu basit graf ile temsil edilebilir. Tabii, bu işin yapılmasıyla, adına graf  teorisi denilen yepyeni bir teorinin temelleri atılmış oldu.

                           

Graf teorisinin terimleriyle konuşursak, A, B, C, D noktalarına köşe noktaları, bu noktaları birleştiren çizgilere de yol denir. Bizim problemde, köşe noktaları ırmağın iki yakasını ve adaları gösterir. Yollar ise köprüleri temsil etmektedirler. Bir köşeden çıkan farklı yolların sayısına o köşenin derecesi denir. Buna göre, A, B ve D köşelerinin her birisinin derecesi 3, C köşesinin derecesi ise 5 dir.

Şimdi şu basit akıl yürütmeyi hemen yapabiliriz. Bir köşeden geziye başlayan birisinin aynı köşeye farklı bir yoldan dönebilmesi için bu köşeye dönen farklı bir yolun olması gerekir. Yani bir köşeden her çıkış-dönüş için iki farklı yol gerekir. Bu hesaba göre, bir köşeden iki kez farklı yollardan çıkıp geri dönmek için o köşenin derecesi 4 olmalıdır. Bu işi üç kez yapabilmek için, o köşenin derecesi 6 olmalıdır. Öyleyse, A, B, D köşelerinin herhangi birisinden geziye başlayan kişi sırasıyla çıkış-dönüş-çıkış yapabilir. Ama son çıkışın dönüşünü yapamaz.  Benzer şekilde C noktasından geziye çıkan kişi, sırasıyla çıkış-dönüş-çıkış-dönüş-çıkış yapabilir, ama gene son çıkışındönüşünü yapamaz. Bu demektir ki, bir Königsbergli, gezisine nereden başlarsa başlasın, kentin yedi köprüsünü birer kez geçerek başladığı noktaya geri dönemez.

Şimdi problemi biraz gevşetelim. Başlangıç noktasına dönme koşulunu kaldıralım.  Her köprüyü bir ve yalnız bir kez geçerek Königsberg kentini dolaşmak mümkün müdür?  Bunu yukarıdaki graf ile açıklarsak şöyle diyebiliriz: Grafikteki her yolu bir ve yalnız bir kez yürümek mümkün müdür?

Başlangıç noktasına geri dönülmeyeceğine göre, gezinin başlangıç ve bitiş köşeleri ile aradaki köşelerin dereceleri arasında bir fark olmalıdır. Başlangıç köşesi için çıkış, çıkış-dönüş-çıkış, çıkış-dönüş-çıkış-dönüş-çıkış, …yollarından birisi olabilir. Ohalde, başlangıç köşesinin derecesi tek olmalıdır. Benzer düşünüşle, bitiş köşesi için dönüş, dönüş-çıkış-dönüş, dönüş-çıkış-dönüş-çıkış-dönüş, … yollarından birisi olabilir. Ohalde, bitiş köşesinin derecesi de tek olmalıdır.

Şimdi de aradaki köşelere bakalım.  Gezginin arada uğradığı herbir köşe için, her girişin bir çıkışı olmalıdır. Öyleyse, aradaki köşelerin dereceleri çift olmalıdır.

Bu söylediklerimize göre, her yolundan yalnız bir kez geçilerek bir grafiğin bütün yollarının yürünebilmesi (path traversing) için, iki ve yalnızca iki köşesinin tek dereceli, öteki köşelerin çift dereceli olması gerekir.

Königsberg köprülerinin grafına bakarsak, bu koşulun sağlanmadığını görüyoruz. Bütün köşeleri tek derecelidir. Hangi köşeleri orta yere alırsak alalım, her girişe karşılık bir çıkış yolu olamaz.  Dolayısıyla, Königsberglilerin, kentlerini gezme şansları yoktur.

Euler’in çözümü, yalnızca Königsbergliler’in çok istedikleri seyahatin olanaksızlığını ispatlamakla kalmadı. Genel olarak, bir grafta her yoldan bir kez geçerek bütün yolları yürümenin (path traversing) mümkün olabilmesi için iki ve yalnızca iki köşenin derecelerinin tek, ötekilerin çift olması gerektiğini kanıtladı. Özel olarak, gezinin başlangıç ve bitim noktaları aynı ise, bütün köşelerin derecelerinin çift olması gerekir.

inşaport.com ücretsiz aboneliği

Haftalık bültenimize abone olun, yeni içerikleri kaçırmayın.

Abonelik işleminiz tamamlandı.

Bir hata meydana geldi, lütfen daha sonra tekrar deneyiniz.

Kaynakbaskent.edu.tr - sayıların dili
Önceki İçerik1-6 Mayıs “İnşaat Sektörü Haftalık Özeti”
Sonraki İçerikMimari Proje Çizerken Dikkat Etmeniz Gereken Kurallar
İnş. Müh. (stu) Enes SUBAŞI
20 Temmuz 1997'de Karabük Eskipazar'da dünyaya geldim.Babamın mesleğinden dolayı ilkokul 1. ve 2. sınıflarını Hatay da Cemalettin Tınaztepe ilköğretim okulunda okudum daha sonra babamın emekli olmasından dolayı İstanbul'a yerleşme kararı aldık ve ortaokul 7. sınıfa kadar Kartal Atatürk İlköğretim okulunda okudum 8.sınıfı ise Maltepe Güzin Dinçkök ilköğretim okulunda bitirip lise hayatımı Maltepe Orhangazi Anadolu lisesinde tamamladım.Orta öğretim yıllarında futbola başladım lise hayatımın sonunda futbola devam ederken harçlığımı çıkartmak için inşaatlarda kısa bir süre çalıştım daha sonra bu işi gerçekten sevdiğimi fark ettim ve hedefim olan Besyo bölümünden vazgeçtim ve İnşaat mühendisliğine yöneldim disiplini hiç elden bırakmadan sınav döneminde babamın hastahanede olmasından dolayı hem babama baktım hem derslerime çalıştım.Şuanda hayallerimin başındayım ve mühendislik hayallerimi,mühendis gibi devam ettirebilmek için Bülent Ecevit Üniversitesinde İnşaat mühendisliği bölümünde öğrenimimi devam ettirmekteyim.Yapisor.com sayfasının da temsilciğini yapmaktayım.Çelik yapılar,deprem,değişik mimariler ve sektöre dair haberler edinmek istiyorsanız takipte kalın.

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.